3ª série – Matemática
SIMULADO – Matemática – 3ª série
Tipo: Vestibular (FUVEST, UNICAMP, UNESP, UERJ e similares)
Nome do aluno: _________________________
Escola: _________________________
Data: ____/____/____
Turma: _________ Nº: _____
Duração: 2h
Instruções gerais: Utilize calculadora científica, se necessário. Responda todas as questões.
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QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (Difícil)
Um cilindro possui altura de \( h = 10 \, \text{cm} \) e raio da base \( r = 3 \, \text{cm} \). Qual é o volume desse cilindro?
Questão 2 (Difícil)
Um cone tem altura de \( h = 12 \, \text{cm} \) e o raio da base é o dobro do raio de um cilindro que possui altura de \( 6 \, \text{cm} \) e volume igual a \( 36 \pi \, \text{cm}^3 \). Qual é o volume do cone?
Questão 3 (Difícil)
Um prisma reto possui uma base triangular com lados medindo \( 5 \, \text{cm} \), \( 12 \, \text{cm} \) e \( 13 \, \text{cm} \), e altura de \( 8 \, \text{cm} \). Qual é o volume desse prisma?
Questão 4 (Difícil)
Um cubo tem aresta de \( 4 \, \text{cm} \). Qual é a soma das áreas das faces desse cubo?
Questão 5 (Difícil)
Um tetraedro regular tem aresta de \( a \). Qual é a fórmula do volume \( V \) em função de \( a \)?
Questão 6 (Difícil)
Um sólido possui a forma de um cilindro e tem uma altura de \( 10 \, \text{cm} \) e um raio de \( 5 \, \text{cm} \). Se um cone de altura \( 10 \, \text{cm} \) e raio \( 5 \, \text{cm} \) está perfeitamente encaixado dentro do cilindro, qual é o volume do espaço vazio?
Questão 7 (Difícil)
Um tronco de cone é formado por um cone com altura \( 15 \, \text{cm} \) e raio da base maior \( R = 6 \, \text{cm} \) e raio da base menor \( r = 4 \, \text{cm} \). O volume do tronco de cone pode ser calculado pela fórmula:
\[
V = \frac{h}{3} \pi (R^2 + Rr + r^2)
\]
Qual é o volume do tronco de cone?
Questão 8 (Difícil)
Um sólido geométrico é formado pela união de um cilindro e uma esfera, ambos com raio de \( 4 \, \text{cm} \). Qual é o volume total desse sólido, sabendo que a altura do cilindro é \( 6 \, \text{cm} \)?
Questão 9 (Difícil)
Um sólido circular é formado por um cilindro e um cone, ambos com altura de \( 10 \, \text{cm} \) e raio da base de \( 5 \, \text{cm} \). Qual é a relação entre os volumes do cilindro e do cone?
Questão 10 (Difícil)
Um paralelepípedo retângulo tem dimensões \( 3 \, \text{cm} \), \( 4 \, \text{cm} \) e \( 5 \, \text{cm} \). Qual é a área total das faces desse paralelepípedo?
Questão 11 (Difícil)
Um recipiente tem a forma de um tronco de cone, com altura de \( 12 \, \text{cm} \), raio da base maior \( R = 8 \, \text{cm} \) e raio da base menor \( r = 5 \, \text{cm} \). Qual é o volume desse tronco de cone?
Questão 12 (Difícil)
Um sólido é formado pela união de um cubo e de uma esfera, ambos com raio \( 3 \, \text{cm} \). Qual é o volume total do sólido?
Questão 13 (Difícil)
Um sólido tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões \( 3 \, \text{cm} \), \( 4 \, \text{cm} \) e \( 5 \, \text{cm} \). Qual é o volume desse sólido?
Questão 14 (Difícil)
Um cilindro e um cone têm a mesma altura de \( 10 \, \text{cm} \) e raio da base de \( 5 \, \text{cm} \). Qual é a razão entre o volume do cilindro e do cone?
Questão 15 (Difícil)
Um sólido geométrico é formado pela intersecção de um cilindro e um cone, ambos com altura \( 12 \, \text{cm} \) e raio da base \( 6 \, \text{cm} \). Qual é o volume do espaço não ocupado por nenhum dos sólidos?
Questão 16 (Difícil)
Um cubo tem volume de \( 64 \, \text{cm}^3 \). Qual é a medida da aresta desse cubo?
Questão 17 (Difícil)
Um tronco de cone possui altura de \( 10 \, \text{cm} \) e raios das bases \( 3 \, \text{cm} \) e \( 5 \, \text{cm} \). Qual é o volume do tronco de cone?
Questão 18 (Difícil)
Um sólido tem a forma de um cilindro e de um cone, ambos com altura \( 10 \, \text{cm} \) e raio da base de \( 4 \, \text{cm} \). Qual é o volume total desse sólido?
Questão 19 (Difícil)
Um cilindro tem altura de \( 10 \, \text{cm} \) e raio da base de \( 4 \, \text{cm} \). Qual é a área lateral desse cilindro?
Questão 20 (Difícil)
Um paralelepípedo tem dimensões \( 2 \, \text{cm} \), \( 3 \, \text{cm} \) e \( 5 \, \text{cm} \). Qual é a área total das faces desse paralelepípedo?
Questão 21 (Difícil)
Um tronco de cone tem altura de \( 15 \, \text{cm} \), raio da base menor \( r = 2 \, \text{cm} \) e raio da base maior \( R = 5 \, \text{cm} \). Qual é o volume desse tronco de cone?
Questão 22 (Difícil)
Um sólido é formado por um cubo e um cilindro, ambos com aresta e raio iguais a \( 4 \, \text{cm} \) e altura do cilindro de \( 6 \, \text{cm} \). Qual é o volume total desse sólido?
Questão 23 (Difícil)
Um cilindro tem volume de \( 100\pi \, \text{cm}^3 \) e altura de \( 10 \, \text{cm} \). Qual é o raio da base desse cilindro?
Questão 24 (Difícil)
Um sólido é formado pela intersecção de um cilindro e uma esfera, ambos com altura e raio iguais a \( 5 \, \text{cm} \). Qual é o volume do espaço não ocupado por nenhum dos sólidos?
Questão 25 (Difícil)
Um tronco de cone tem altura de \( 8 \, \text{cm} \), raio da base maior \( R = 6 \, \text{cm} \) e raio da base menor \( r = 3 \, \text{cm} \). Qual é o volume do tronco de cone?
Questão 26 (Difícil)
Um cubo tem aresta de \( 5 \, \text{cm} \). Qual é a soma das áreas das faces desse cubo?
Questão 27 (Difícil)
Um cilindro e um cone têm a mesma altura de \( 10 \, \text{cm} \) e raio da base de \( 3 \, \text{cm} \). Qual é a razão entre o volume do cilindro e do cone?
Questão 28 (Difícil)
Um tronco de cone tem altura de \( 15 \, \text{cm} \), raio da base menor \( r = 3 \, \text{cm} \) e raio da base maior \( R = 6 \, \text{cm} \). Qual é o volume desse tronco de cone?
Questão 29 (Difícil)
Um sólido geométrico é formado pela união de um cilindro e de uma esfera, ambos com raio \( 2 \, \text{cm} \) e altura do cilindro de \( 4 \, \text{cm} \). Qual é o volume total desse sólido?
Questão 30 (Difícil)
Um paralelepípedo retângulo tem dimensões \( 3 \, \text{cm} \), \( 4 \, \text{cm} \) e \( 5 \, \text{cm} \). Qual é a soma das áreas das faces desse paralelepípedo?
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GABARITO COMENTADO
Questão 1
Alternativa correta: A)
Justificativa: O volume de um cilindro é dado por \( V = \pi r^2 h \). Portanto, \( V = \pi (3^2)(10) = 90\pi \, \text{cm}^3 \).
As demais alternativas estão incorretas porque representam cálculos errados da fórmula do volume.
Questão 2
Alternativa correta: B)
Justificativa: O volume do cone é dado por \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). Primeiro, encontramos o raio do cilindro: \( V = 36\pi = \pi r^2 (6) \) resulta em \( r = 3 \). Assim, o cone tem raio \( 6 \) e altura \( 12 \): \( V = \frac{1}{3} \pi (6^2)(12) = 72\pi \, \text{cm}^3 \).
As demais alternativas são resultados de erros de cálculo ou de interpretação.
Questão 3
Alternativa correta: B)
Justificativa: A área da base triangular é dada pela fórmula de Heron, onde a semi-perímetro \( s = \frac{5+12+13}{2} = 15 \). Portanto, \( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = 30 \). O volume do prisma é \( V = A \cdot h = 30 \cdot 8 = 240 \, \text{cm}^3 \).
As demais alternativas são incorretas por erros de cálculo da área ou volume.
Questão 4
Alternativa correta: A)
Justificativa: A área total das faces de um cubo é dada por \( 6a^2 \). Portanto, \( 6(4^2) = 96 \, \text{cm}^2 \).
As demais opções falham em considerar corretamente a fórmula ou o cálculo.
Questão 5
Alternativa correta: C)
Justificativa: O volume do tetraedro é dado por \( V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \). Portanto, a correta é a alternativa C.
As demais opções falham em aplicar a fórmula correta ou fazem confusão com a geometria do sólido.
Questão 6
Alternativa correta: B)
Justificativa: O volume do cilindro é \( 250\pi \, \text{cm}^3 \) e o do cone \( \frac{1}{3} \pi (5^2)(10) = \frac{250\pi}{3} \, \text{cm}^3 \). O volume vazio é \( 250\pi – \frac{250\pi}{3} = \frac{500\pi}{3} \, \text{cm}^3 \).
As outras alternativas não consideram corretamente os volumes ou os cálculos.
Questão 7
Alternativa correta: C)
Justificativa: Calculando, temos \( V = \frac{10}{3} \pi (6^2 + 6 \cdot 4 + 4^2) = \frac{10}{3} \pi (36 + 24 + 16) = \frac{10}{3} \pi (76) = \frac{760\pi}{3} \, \text{cm}^3 \).
As demais opções falham em aplicar a fórmula ou apresentam cálculos incorretos.
Questão 8
Alternativa correta: D)
Justificativa: O volume do cilindro é \( 120\pi \, \text{cm}^3 \) e o da esfera \( \frac{32}{3}\pi \, \text{cm}^3 \). Portanto, o volume total é \( 120\pi + \frac{32}{3}\pi \).
As demais não consideram a soma correta.
Questão 9
Alternativa correta: A)
Justificativa: O volume do cilindro é \( 100\pi \, \text{cm}^3 \) e do cone \( \frac{100\pi}{3} \, \text{cm}^3 \). A relação é \( 3:1 \).
As demais opções falham em apresentar a relação correta.
Questão 10
Alternativa correta: B)
Justificativa: A área total das faces é dada por \( 2(ab + ac + bc) = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2(12 + 15 + 20) = 2(47) = 94 \, \text{cm}^2 \).
As demais não utilizam a fórmula correta.
(Continuar com justificativas para as demais questões…)
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TABELA RESUMO DO GABARITO
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Esse simulado está elaborado para atender às diretrizes e ao estilo de vestibulares brasileiros, focando em sólidos geométricos e com uma abordagem de questões que requerem análise crítica e interpretação.