1ª série – Matemática
SIMULADO – Matemática – 1ª série
Tipo: Olimpíada do Conhecimento (OBMEP, OBA, OBF, OBQ, OBB)
Nome do aluno: _________________________
Escola: _________________________
Data: ____/____/____
Turma: _________ Nº: _____
Duração: 30 minutos
Instruções gerais: Utilize caneta ou lápis para marcar suas respostas. O uso de calculadora é permitido. Responda todas as questões.
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QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (Fácil)
Em uma sala de aula, dois triângulos, \( ABC \) e \( DEF \), são representados. Sabe-se que o ângulo \( A \) é igual ao ângulo \( D \) e o ângulo \( B \) é igual ao ângulo \( E \). De acordo com o Teorema da Semelhança de Triângulos, o que se pode afirmar sobre os triângulos \( ABC \) e \( DEF \)?
Questão 2 (Fácil)
Analise os triângulos \( PQR \) e \( XYZ \), onde \( PQ = 4 \, cm \), \( QR = 3 \, cm \) e \( PR = 5 \, cm \), enquanto \( XY = 8 \, cm \), \( YZ = 6 \, cm \) e \( XZ = 10 \, cm \). Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre os triângulos?
Questão 3 (Médio)
Em um certo triângulo \( ABC \), os ângulos \( A \) e \( B \) medem \( 30^\circ \) e \( 60^\circ \), respectivamente. Qual é a razão entre os lados opostos a esses ângulos, \( a \) (oposto a \( A \)) e \( b \) (oposto a \( B \))?
Questão 4 (Médio)
Considere um triângulo \( XYZ \) semelhante ao triângulo \( ABC \). Se a razão de semelhança entre os triângulos é \( 3:5 \) e o perímetro do triângulo \( ABC \) é \( 40 \, cm \), qual é o perímetro do triângulo \( XYZ \)?
Questão 5 (Difícil)
Um barco é representado por um triângulo \( ABC \) onde \( AB = 10 \, m \), \( AC = 6 \, m \) e a altura do triângulo a partir do vértice \( C \) até o lado \( AB \) mede \( 4 \, m \). Se o barco é colocado em escala com a razão de semelhança de \( 1:2 \), qual será a área do novo triângulo?
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GABARITO COMENTADO
Questão 1: B
Justificativa: Os triângulos são semelhantes porque possuem dois ângulos correspondentes iguais, o que é suficiente para afirmar a semelhança.
Distratores:
– A) Incorreto, pois a congruência exige que todos os lados sejam iguais.
– C) Incorreto, pois a igualdade de ângulos não garante áreas iguais.
– D) Incorreto, pois não se afirma nada sobre os lados dos triângulos.
– E) Incorreto, pois eles têm uma relação de semelhança.
Questão 2: A
Justificativa: Os lados dos triângulos \( PQR \) e \( XYZ \) são proporcionais, \( \frac{4}{8} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
Distratores:
– B) Incorreto, pois a razão de semelhança é \( 1:2 \) e não o contrário.
– C) Incorreto, pois os triângulos são semelhantes.
– D) Incorreto, pois os triângulos não são congruentes.
– E) Incorreto, pois \( PQR \) não é um equilátero.
Questão 3: D
Justificativa: Pelas propriedades dos triângulos, a razão é \( \frac{a}{b} = \frac{\sin(30)}{\sin(60)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Distratores:
– A) Incorreto, pois a razão correta é \( 1:\sqrt{3} \).
– B) Incorreto, pois não corresponde às razões trigonométricas.
– C) Incorreto, pois os triângulos são não apenas semelhantes, mas a razão é a correta.
– E) Incorreto, pois \( A \) e \( B \) não correspondem a um triângulo equilátero.
Questão 4: D
Justificativa: O perímetro do triângulo \( XYZ \) é \( \frac{5}{3} \times 40 = \frac{200}{3} = 66,67 \, cm \), mas a razão de semelhança \( 3:5 \) implica que o perímetro será \( \frac{5}{3} \) vezes o perímetro de \( ABC \), resultando em \( 50 \, cm \).
Distratores:
– A) Incorreto, pois o cálculo não corresponde à razão de semelhança.
– B) Incorreto, pois não reflete a proporcionalidade correta.
– C) Incorreto, pois \( 48 \) não corresponde à proporcionalidade.
– E) Incorreto, pois o perímetro calculado é menor.
Questão 5: B
Justificativa: A área do triângulo original é \( \frac{1}{2} \times base \times altura = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20 \, m^2 \). O novo triângulo, com razão de semelhança \( 1:2 \), terá área \( 4 \) vezes maior, resultando em \( 20 \times 4 = 80 \, m^2 \).
Distratores:
– A) Incorreto, pois não considera a multiplicação pela razão de semelhança ao quadrado.
– C) Incorreto, pois não corresponde ao cálculo correto.
– D) Incorreto, pois a área não é calculada corretamente.
– E) Incorreto, pois considera uma área maior que a correta.
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TABELA RESUMO DO GABARITO
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Esse simulado foi elaborado para proporcionar um desafio adequado ao nível de conhecimento dos alunos da 1ª série do Ensino Médio, utilizando conceitos de semelhança de triângulos e suas aplicações práticas.