1ª série – Matemática
SIMULADO – Matemática – 1ª série
Tipo: Olimpíada do Conhecimento (OBMEP, OBA, OBF, OBQ, OBB)
Nome do aluno: _________________________
Escola: _________________________
Data: ____/____/____
Turma: _________ Nº: _____
Duração: 30 minutos
Instruções gerais: Este simulado contém 5 questões de múltipla escolha. Assinale a alternativa correta. O uso de calculadora é permitido.
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QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (Médio)
Em um triângulo \( ABC \), os ângulos \( A \), \( B \) e \( C \) são respectivamente \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) e \( 90^\circ \). Um triângulo semelhante a \( ABC \) tem um ângulo \( A’ = 30^\circ \). Se o comprimento do lado oposto ao ângulo \( A’ \) é 4 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo \( B’ \) no triângulo semelhante?
Questão 2 (Médio)
Os triângulos \( DEF \) e \( GHI \) são semelhantes. Se o lado \( DE \) mede 5 cm e o lado \( GH \) mede 10 cm, qual é a razão entre as áreas dos triângulos \( DEF \) e \( GHI \)?
Questão 3 (Difícil)
Os triângulos \( JKL \) e \( MNO \) são semelhantes. O triângulo \( JKL \) tem lados medindo 12 cm, 16 cm e 20 cm. Se o lado maior do triângulo \( MNO \) mede 30 cm, qual será o comprimento do lado menor correspondente ao lado de 12 cm do triângulo \( JKL \)?
Questão 4 (Médio)
Na figura abaixo, os triângulos \( PQR \) e \( STU \) são semelhantes, sendo que \( PQ = 6 \) cm e \( ST = 9 \) cm. Se a altura do triângulo \( PQR \) relativa ao lado \( QR \) mede 4 cm, qual é a altura do triângulo \( STU \) relativa ao lado \( TU \)?
Questão 5 (Difícil)
Dois triângulos \( XYZ \) e \( ABC \) têm as seguintes medidas: \( XY = 4 \), \( YZ = 6 \), \( ZX = 8 \) e \( AB = 12 \). Se \( XYZ \) é semelhante a \( ABC \), determine qual é o valor de \( AC \).
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GABARITO COMENTADO
Questão 1: C
Justificativa: O triângulo \( ABC \) é um triângulo retângulo. Para um triângulo semelhante, a razão entre os lados é a mesma que a razão entre os ângulos correspondentes. Sendo assim, a razão entre \( AB \) e \( AC \) também se aplica. Usando a função seno para determinar a relação:
\[
\sin(60^\circ) = \frac{lados\ opostos}{4} \implies lados\ opostos = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6.93 \text{ cm}
\]
As demais alternativas não correspondem à razão correta.
Questão 2: B
Justificativa: A razão entre os lados é \( \frac{DE}{GH} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \). Portanto, a razão das áreas é o quadrado da razão dos lados:
\[
\text{Razão das áreas} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
\]
As demais opções não consideram a relação correta de áreas entre triângulos semelhantes.
Questão 3: A
Justificativa: A razão de semelhança entre os lados é:
\[
\frac{30}{20} = \frac{3}{2}.
\]
Assim, para o lado correspondente de 12 cm:
\[
Lado\ menor = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8\ cm.
\]
As demais opções não mantêm a relação correta.
Questão 4: D
Justificativa: A razão de semelhança entre os lados é:
\[
\frac{PQ}{ST} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.
\]
Para a altura correspondente:
\[
h_{STU} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6\ cm.
\]
As demais alternativas não consideram a razão correta.
Questão 5: D
Justificativa: A razão de semelhança é:
\[
\frac{4}{12} = \frac{1}{3}.
\]
Para o lado correspondente \( AC \):
\[
AC = 8 \cdot 3 = 24\ cm.
\]
As demais alternativas não mantêm a relação correta.
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