Exercícios de Matemática: Circunferências e suas Propriedades

Considere a circunferência definida pela equação \(x^2 + y^2 – 4x – 6y + 9 = 0\). Determine o centro e o raio dessa circunferência e represente-a no plano cartesiano.

Complete as lacunas: A equação geral de uma circunferência com centro em \((h, k)\) e raio \(r\) é dada por ________________. Quando um ponto \(\(x_0, y_0\)\) está fora da circunferência, a relação entre as distâncias é ________________.

Explique como a equação de uma circunferência pode ser obtida a partir da definição de distância entre dois pontos no plano cartesiano. Utilize exemplos para ilustrar sua resposta.

Dada a circunferência de equação \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \), determine a posição relativa entre essa circunferência e o ponto \((2, -3)\). Justifique sua resposta.

Complete as lacunas: Para determinar a posição relativa entre uma circunferência e uma reta, utilizamos a ________________ da reta em relação à circunferência. Se a reta não toca a circunferência, dizemos que ela está ________________.

Explique o que significa dizer que duas circunferências são tangentes. Quais são as condições necessárias para que isso aconteça?

Considere duas circunferências: a primeira com equação \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 9 \) e a segunda com equação \( (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 4 \). Determine a posição relativa entre essas duas circunferências.

Complete as lacunas: A fórmula para a distância entre dois pontos \(\(x_1, y_1\)\) e \(\(x_2, y_2\)\) é ________________. Essa fórmula é fundamental para determinar a ________________ entre um ponto e uma circunferência.

Explique como a mudança nos coeficientes da equação de uma circunferência afeta sua posição e tamanho no plano cartesiano. Dê exemplos.

Uma circunferência é definida pela equação \(x^2 + y^2 – 10x – 4y + 25 = 0\). Encontre o centro e o raio da circunferência e explique como você chegou a esses valores.