3ª série – Matemática
SIMULADO – Matemática – 3ª série
Tipo: Olimpíada do Conhecimento (OBMEP, OBA, OBF, OBQ, OBB)
Nome do aluno: _________________________
Escola: _________________________
Data: ____/____/____
Turma: _________ Nº: _____
Duração: 2h
Instruções gerais:
– O uso de calculadora é permitido.
– Responda todas as questões, assinalando a alternativa correta.
– Leia atentamente cada enunciado antes de escolher sua resposta.
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QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (Fácil)
O gráfico de uma função quadrática é representado pela equação \( y = ax^2 + bx + c \). Se \( a > 0 \), como é o comportamento da parábola em relação ao eixo \( x \)?
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Questão 2 (Fácil)
Um triângulo tem lados medindo 7 cm, 24 cm e 25 cm. Qual é o tipo de triângulo que ele representa?
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Questão 3 (Médio)
Considere a sequência numérica onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Qual é o 10º termo dessa sequência?
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Questão 4 (Médio)
Um círculo possui um raio de 5 cm. Qual é a área desse círculo? Use \( \pi \approx 3,14 \).
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Questão 5 (Médio)
Se \( x + 3 = 10 \), qual é o valor de \( x^2 – 5x + 6 \)?
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Questão 6 (Difícil)
Em uma pesquisa, 60% dos alunos preferem Matemática e 40% preferem Física. Se 5 alunos foram escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 3 preferirem Matemática?
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Questão 7 (Difícil)
A reta \( R \) é dada pela equação \( 2x – 3y + 6 = 0 \). Determine a coordenada \( y \) do ponto onde a reta intercepta o eixo \( y \).
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Questão 8 (Difícil)
Dado o polinômio \( P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \), quais são as raízes desse polinômio?
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Questão 9 (Médio)
Se a média aritmética dos números 8, 12, \( x \) e 20 é 15, qual é o valor de \( x \)?
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Questão 10 (Médio)
Um corpo cai do alto de um prédio de 80 m. Desconsiderando a resistência do ar, qual é o tempo que o corpo levará para atingir o solo? Use \( g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \).
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Questão 11 (Difícil)
Qual é o desvio padrão da seguinte amostra de dados: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9?
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Questão 12 (Difícil)
Um investidor aplica R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual será o montante após 6 meses?
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Questão 13 (Médio)
A soma de dois números é 20 e o produto é 96. Quais são esses números?
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Questão 14 (Difícil)
Considere a função \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \). Qual é o valor de \( x \) que minimiza essa função?
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Questão 15 (Médio)
Em um concurso, a nota de um aluno é a média aritmética das notas das provas, sendo essas 6, 7, 9 e 10. Qual é a nota desse aluno?
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Questão 16 (Médio)
Um polinômio \( P(x) = ax^2 + bx + c \) tem as raízes \( 2 \) e \( 3 \). Qual é o valor de \( a + b + c \) se \( a = 1 \)?
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Questão 17 (Difícil)
Dado um conjunto de dados: 3, 7, 8, 12, 14, 18. Qual é a mediana desse conjunto?
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Questão 18 (Difícil)
Uma loja vende um produto a R$ 200,00. Após um desconto de 15%, qual é o preço final do produto?
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Questão 19 (Difícil)
A equação da circunferência é dada por \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \). Qual é o raio dessa circunferência?
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Questão 20 (Difícil)
Se \( z = 3 + 4i \) e \( w = 1 – 2i \), qual é o produto \( z \cdot w \)?
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GABARITO COMENTADO
Questão 1
Alternativa correta: A
Justificativa: A parábola abre para cima, pois \( a > 0 \), e possui um mínimo no vértice. As demais alternativas estão incorretas pois, se \( a < 0 \), a parábola abriria para baixo (B), e as demais afirmativas não refletem corretamente a definição de uma parábola.
Questão 2
Alternativa correta: D
Justificativa: O triângulo com lados 7, 24 e 25 é um triângulo retângulo, já que \( 7^2 + 24^2 = 25^2 \). As outras alternativas não são verdadeiras.
Questão 3
Alternativa correta: E
Justificativa: O 10º termo de uma PA é dado por \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 2 + (10-1) \cdot 3 = 29 \).
Questão 4
Alternativa correta: C
Justificativa: A área de um círculo é dada por \( A = \pi r^2 = 3,14 \cdot (5^2) = 78,5 \, \text{cm}^2 \). As outras alternativas não correspondem ao cálculo.
Questão 5
Alternativa correta: C
Justificativa: Resolvendo \( x + 3 = 10 \), temos \( x = 7 \). Portanto, \( x^2 – 5x + 6 = 7^2 – 5 \cdot 7 + 6 = 49 – 35 + 6 = 20 \).
Questão 6
Alternativa correta: A
Justificativa: Utilizando a fórmula da probabilidade binomial, temos:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \binom{5}{3} (0,6)^3 (0,4)^2 = 10 \cdot 0,216 \cdot 0,16 = 0,3456
\]
Questão 7
Alternativa correta: B
Justificativa: Para encontrar a interseção com o eixo \( y \), basta substituir \( x = 0 \):
\[
2(0) – 3y + 6 = 0 \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y = 2
\]
Questão 8
Alternativa correta: A
Justificativa: As raízes do polinômio são \( x = 1, 2, 3 \) pois \( P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \).
Questão 9
Alternativa correta: C
Justificativa: A média é dada por:
\[
\frac{8 + 12 + x + 20}{4} = 15 \Rightarrow 40 + x = 60 \Rightarrow x = 20
\]
Questão 10
Alternativa correta: B
Justificativa: A fórmula do tempo de queda é \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \) então:
\[
t = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4 \, \text{s}
\]
Questão 11
Alternativa correta: C
Justificativa: A média é \( \mu = 8 \) e a variância é:
\[
\sigma^2 = \frac{(3-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (12-8)^2 + (14-8)^2 + (18-8)^2}{6} = \frac{25 + 1 + 0 + 16 + 36 + 100}{6} = \frac{178}{6} \approx 29,67 \Rightarrow \sigma \approx 5,45
\]
Questão 12
Alternativa correta: B
Justificativa: O montante é dado por \( M = C + J = 1000 + (1000 \cdot 0,05 \cdot 6) = 1000 + 300 = 1300 \).
Questão 13
Alternativa correta: A
Justificativa: As equações são \( x + y = 20 \) e \( xy = 96 \). Resolvendo, \( y = 20 – x \) e substituindo na segunda, temos \( x(20 – x) = 96 \).
Questão 14
Alternativa correta: B
Justificativa: O vértice da parábola \( f(x) = ax^2 + bx + c \) é dado por \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).
Questão 15
Alternativa correta: B
Justificativa: A média é:
\[
\frac{6 + 7 + 9 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8
\]
Questão 16
Alternativa correta: C
Justificativa: As raízes do polinômio são \( x = 2 \) e \( x = 3 \), logo:
\[
P(x) = (x-2)(x-3) = x^2 – 5x + 6 \Rightarrow a + b + c = 1 – 5 + 6 = 2
\]
Questão 17
Alternativa correta: C
Justificativa: A mediana é o valor central do conjunto, que após ordenar fica 3, 7, 8, 12, 14, 18. Assim, a mediana é \( \frac{8 + 12}{2} = 10 \).
Questão 18
Alternativa correta: A
Justificativa: O valor após desconto é:
\[
200 – (15\% \, de \, 200) = 200 – 30 = 170
\]
Questão 19
Alternativa correta: A
Justificativa: O raio da circunferência é a raiz quadrada do valor no lado direito da equação:
\[
\sqrt{25} = 5
\]
Questão 20
Alternativa correta: A
Justificativa: O produto \( z \cdot w = (3 + 4i)(1 – 2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-2i) = 3 – 6i + 4i + 8 = 11 – 2i \).
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TABELA RESUMO DO GABARITO
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Este simulado foi elaborado de acordo com as diretrizes e padrões esperados para a 3ª série do Ensino Médio, visando a preparação para desafios complexos em matemática.