9º ano – Matemática
SIMULADO – Matemática – 9º ano
Tipo: Olimpíada do Conhecimento (OBMEP, OBA, OBF, OBQ, OBB)
Nome do aluno: _________________________
Escola: _________________________
Data: ____/____/____
Turma: _________ Nº: _____
Duração: 1h30min
Instruções gerais:
– Utilize caneta azul ou preta.
– É permitido o uso de calculadora.
– Leia atentamente cada questão antes de responder.
– Assinale a alternativa correta de acordo com a sua interpretação.
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QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (Difícil)
Em uma competição, a pontuação de um jogador é dada pela função quadrática \( P(x) = -5x^2 + 30x + 10 \), onde \( x \) é o número de partidas jogadas. Qual é o número máximo de pontos que o jogador pode obter?
Questão 2 (Difícil)
Considere a equação \( 2x^2 – 8x + 6 = 0 \). Qual é a soma das raízes dessa equação?
Questão 3 (Difícil)
Um triângulo tem lados de medidas \( a = 3x + 1 \), \( b = 4x – 3 \) e \( c = 5 \). Para que esse triângulo exista, a soma de qualquer dois lados deve ser maior que o terceiro. Qual é a maior raiz real da equação \( x^2 – 6x + 8 = 0 \) que garante a existência do triângulo?
Questão 4 (Difícil)
A função \( f(x) = x^2 – 4x + 4 \) representa a área de um quadrado em função da medida do lado \( x \). Qual é o valor de \( x \) que minimiza a área?
Questão 5 (Difícil)
Um investidor aplica um capital inicial de R$ 1.000,00 em uma aplicação que rende 5% ao ano. O valor final após \( t \) anos é dado pela função \( V(t) = 1000(1 + 0.05)^t \). Qual é o valor final após 3 anos?
Questão 6 (Difícil)
Se \( x \) é uma raiz da equação \( x^2 + bx + 6 = 0 \) e a soma das raízes é igual a 4, qual é o valor de \( b \)?
Questão 7 (Difícil)
Um professor distribui 60 pontos em uma prova de matemática. Um aluno fez 50% do total de questões certas e obteve 36 pontos. Se cada questão vale a mesma quantidade de pontos, quantas questões o aluno acertou?
Questão 8 (Difícil)
A raiz quadrada de um número \( x \) é igual a 5. Qual é o valor de \( x \)?
Questão 9 (Difícil)
Dado o polinômio \( P(x) = x^2 – 6x + 9 \), qual é o valor de \( P(3) \)?
Questão 10 (Difícil)
Em uma loja, o preço de um produto é \( P(x) = x^2 – 2x + 8 \), onde \( x \) representa a quantidade comprada. Qual é o preço mínimo que pode ser obtido?
Questão 11 (Difícil)
O número de soluções reais da equação \( x^2 – 4x + k = 0 \) depende do valor de \( k \). Para \( k = 5 \), quantas soluções reais existem?
Questão 12 (Difícil)
Se a equação \( x^2 + 2x – 8 = 0 \) possui raízes \( r_1 \) e \( r_2 \), qual é o produto das raízes?
Questão 13 (Difícil)
Considere a equação \( x^2 – 10x + 25 = 0 \). Qual é a forma fatorada dessa equação?
Questão 14 (Difícil)
Um tanque de água possui a forma de um tronco de cone. A altura do tanque é de 3 metros e o raio da base menor é de 1 metro. Se a superfície lateral do tanque é dada pela função \( S(h) = \pi (R + r) \sqrt{(R – r)^2 + h^2} \), onde \( R \) é o raio da base maior e \( r \) é o raio da base menor, qual é o valor de \( S(3) \) se \( R = 2 \)?
Questão 15 (Difícil)
Uma empresa projeta produzir \( x \) unidades de um produto, e seu custo total é dado pela função \( C(x) = 2x^2 + 30x + 100 \). Se a empresa vende cada unidade por R$ 50, qual é o ponto de equilíbrio, onde o lucro é zero?
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GABARITO COMENTADO
Questão 1: C
Justificativa: O máximo de \( P(x) \) ocorre no vértice da parábola, \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2 \cdot -5} = 3 \). Calculando \( P(3) \), obtemos \( P(3) = -5(3^2) + 30(3) + 10 = 80 \).
Questão 2: B
Justificativa: Para a soma das raízes de uma equação do 2º grau \( -\frac{b}{a} = 4 \Rightarrow b = -8 \). Portanto, a soma é 4.
Questão 3: C
Justificativa: A maior raiz de \( x^2 – 6x + 8 = 0 \) é 4. As condições de existência do triângulo são satisfeitas.
Questão 4: C
Justificativa: O mínimo de \( f(x) \) ocorre em \( x = 2 \), onde \( f(2) = 0 \).
Questão 5: B
Justificativa: O valor após 3 anos é \( V(3) = 1000(1 + 0.05)^3 = 1000(1.157625) \approx R$ 1.157,63 \).
Questão 6: D
Justificativa: A soma das raízes é 4, logo \( -b = 4 \Rightarrow b = -4 \).
Questão 7: C
Justificativa: Se o aluno fez 50% de 60 questões, acertou 30, o que equivale a 15 questões.
Questão 8: C
Justificativa: \( \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25 \).
Questão 9: A
Justificativa: \( P(3) = 3^2 – 6(3) + 9 = 0 \).
Questão 10: A
Justificativa: O mínimo de \( P(x) \) ocorre em \( x = 1 \) e \( P(1) = 6 \).
Questão 11: C
Justificativa: Para \( k = 5 \), a equação tem duas soluções reais.
Questão 12: E
Justificativa: O produto das raízes é dado por \( c/a = -8 \).
Questão 13: C
Justificativa: A forma fatorada é \( (x – 5)^2 \).
Questão 14: A
Justificativa: \( S(3) = \pi (1 + 2) \sqrt{(2 – 1)^2 + 3^2} = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{10} \).
Questão 15: B
Justificativa: Para o ponto de equilíbrio, iguale \( 50x = 2x^2 + 30x + 100 \) e resolva a equação quadrática.
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TABELA RESUMO DO GABARITO
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Este simulado está estruturado para desafiar os alunos do 9º ano com questões que exigem raciocínio crítico e a aplicação de conceitos matemáticos, em conformidade com as diretrizes solicitadas.